ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し３枚とも

2012年3月2日リアル

でググルと、結構な数のサイトで同じ問題を扱っていて面白いｗ

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、

表を見ないで箱の中にしまった。

そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、

３枚ともダイヤであった。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

答えが１／４ってのは納得出来ない！

１０／４９だろ！！

最後の『答えが１／４ってのは納得できない！』って部分は、実際この問題が大学入試で出て、解答が１／４だったかららしい。
（そのあたりの詳しいことは、探したけど見つからなかった。）

ググってみるとあちこちのサイトで『１／４派』と『１０／４９派』が論戦を繰り広げている。

私の中で納得できたのはこの解説

昔本当にそうなのか？と思って実際プログラム書いて総当り的な数の力で試したことがあるんだが
1枚引いて箱に入れたあと、3枚引いたら3枚ともダイアだった場合に
箱の中のカードがダイアである確率は確かに1/4より低かった。

逆に箱の中のカードがダイアだった場合の3枚引いたときに3枚ともダイアである確率は、箱の中が他3種だった場合と比べてが低かった。
↑これはイメージしやすいと思う。そしてこれが分かれば問題の理屈も分かるはず。

1枚引いて箱の中に入れたカードが以下だった場合の、その後3枚引いたときに3枚ともダイアである確率
スペード　　　： 1.37%　(13/51)*(12/50)*(11/49)
ハート　　　　： 1.37%　(13/51)*(12/50)*(11/49)
クローバー　： 1.37%　(13/51)*(12/50)*(11/49)
ダイア　　　　： 1.05%　(12/51)*(11/50)*(10/49)

3枚引いた時の3枚は3枚ともダイアになる以外にも色んな場合がある。ダイア・ダイア・ハートだったり、ダイア・スペード・クローバーだったりする。
それら全ての場合の中における3枚ともダイアだった場合を抽出して考える。←ここポイント
すると上に書いたように箱の中のカードがダイアだった場合、3枚ともダイアになる確率は他3種の場合と比べて低いことが分かるだろう。
そして逆に言うと3枚ともダイアだった場合、箱の中のカードがダイアである確率は他3種より低いんだ。

3枚ともダイアだった場合に箱の中がダイアである確率は 1.05 / (1.37+1.37+1.37+1.05) すなわち
((12/51)*(11/50)*(10/49)) / (((13/51)*(12/50)*(11/49)*3) + ((12/51)*(11/50)*(10/49)))
= 0.204081633 (これは10/49と等しい)

よって1枚を引き箱に入れたあと、3枚を引きそれら3枚ともダイアだった場合：
箱の中のカードは約20.5%の確率でダイア、それぞれ約26.5%の確率でスペードハートクローバー